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Versuchsdurchführung
2. Newton‘sche Axiom: Die zeitliche Änderung des Impulses ist proportional zu der wirkenden Kraft:
\(F=\frac{d}{dt}(M\cdot v)=M\cdot a\)
Luftkissenbahn: Die Kraft F wird über das Gewicht einer kleinen Masse m (\(ca. 10g \) oder \( n \cdot 10g \) ) erzeugt und greift über einen Faden, der über zwei Umlenkrollen läuft, am Wagen an.
Masse eines kleinen Wagens: ca. \(250g\)
Gesamtmasse des 10m langen Fadens: \(0,7g\)
Masse eines Umlenkrades (Material: Kunststoff): ca \( 1,5g\) (ohne Achse).
Die Masse eines Umlenkrades geht zur Hälfte in die träge Masse des Gesamtsystems ein:
Drehmoment am Radrand: \( M =R \cdot F\)
Drehimpulsänderung des Rades: \( M =\Theta \dot {\omega} = ( \frac{1}{2} MR^2) \frac{\dot {v}}{R}= \frac{1}{2} Ma \cdot R\) daraus folgt: \( F=\frac{1}{2} Ma\)
Die träge Masse eines Wagens erhält also durch den Faden und die beiden Umlenkrollen noch einen Zuschlag von ca. 3,7g! Bei einer Verdopplung der Wagenmasse muss dies strenggenommen berücksichtigt werden.
M = Masse des Wagens
m = Masse des von der Zugkraft erzeugten Gewichts
Trägheitskraft: \( F= (M+m) \cdot a \)
Gewichtskraft: \(F= m \cdot g \)
Ergibt: \( (M+m) \cdot a=m \cdot g \)...\(\Rightarrow \) \( a= \frac {m}{M+m} \cdot g \) und \( g= \frac {M+m}{m} \cdot a\)
Vereinfacht: \(M \cdot a=m \cdot g\)
.\(a=\frac{mg}{M}\)
.\(g=\frac{Ma}{m}\)
.\(\frac{M}{m}=\frac{g}{a}\)
a) F = M a Fortsetzung 1
Zur trägen Masse des Gesamtsystems trägt auch die Masse \( m\) am Ende des Fadens bei, welche die Gewichtskraft \(F \) zur Beschleunigung erzeugt. Man kann dies aber auch dadurch berücksichtigen, dass man als Gewichtskraft \(F=m (g-a)\) nimmt, wobei a die Beschleunigung des umgelenkten Fadens nach unten ist.
Sei \(M\) die Masse von Wagen, Faden und Anteil der Umlenkrollen, so gilt:
.\(F= M \cdot a \) (schwere Masse)
.\(F= m \cdot (g-a)\) (träge Masse)
.\(\Rightarrow \)\(a= \frac{m}{M+m}g\)
Eine Verdopplung von m führt nicht exakt zu einer Verdopplung von a, sondern zu einem etwas kleinerem Wert:
\( a'=2a[\frac{1}{1+\frac{a}{g}}] \) (4% Abweichung bei \( \frac {M}{m}= \frac {10}{250}\))Eine exakte Verdopplung der Beschleunigung erreicht man folgendermaßen:
An den Faden wird die Masse m gehängt und die gleiche Masse m zusätzlich auf den Wagen gelegt. Das führt zu der Beschleunigung \( a=\frac {m}{M+2m}g\).Nimmt man nun die Zusatzmasse m vom Wagen herunter und hängt sie an den Faden, so hat man:
\(a'=2 \frac {m}{M+2m}g=2a\)
Entsprechend führt eine Verdopplung von M nicht zu einer exakten Halbierung der Beschleunigung, sondern zu einem etwas größeren Wert: \(a''=\frac{a}{2}[\frac{1}{a-\frac{a}{2g}}]\)
b) F = M a Fortsetzung 2
Dieser um ca. 4% zu große Wert (bei \( \frac {M}{m}= \frac {10}{250}\)) wird nochmals geringfügiger verschlechtert, wenn nur die reine Masse des Wagens verdoppelt wird ohne den Anteil von ca. 3,7g aus Faden und Umlenkrolle zu beachten.
Besser mit s1= 0,5m und s2=2m \(\rightarrow\) Zeiten bzw. Geschwindigkeit genau doppelt so groß.
Variante: Die Beschleunigung a wird bei fliegendem Start gemessen, indem man die momentane Geschwindigkeit v1 und v2 an zwei Orten s1 und s2 ermittelt:
\(v(t)=v_1+at\)
.\( s(t)=v_1t+ \frac {1}{2} at^2\)
.\(\rightarrow s_2-s_1=v_1\frac{v_2-v_1}{a}+\frac{1}{2}a(\frac{v_2-v_1}{a})^2\)
.\(\Rightarrow a=\frac{1}{s_2-s_1}[v_1(v_2-v_1)+\frac{1}{2}(v_2-v_1)^2]\)