Versuchsdurchführung
An einem großen Silikonball ist ein dünner, radial abstehender Nylonfaden befestigt. Ein kleiner Ball ist längst seines Durchmessers durchbohrt und wird auf den Nylonfaden aufgefädelt.
Mit einer Wäscheklammer wird der überstehende Teil des Nylonfadens festgeklemmt, sodass beide Silikonbälle an einem Stativ in ca. 1,70m Höhe aufgehängt werden können.
Wird die Wäscheklammer geöffnet, so fallen die Bälle zu Boden und es kann beobachtet werden, dass der kleinere Silikonball fast bis zur Hörsaaldecke geschleudert wird.
Erklärung
Der große Ball (roter Ball) hat die Masse \(m_2 = 98,7 g\) und die Geschwindigkeit \( v_2\) und der kleine Ball (grüner Ball) hat die Masse \(m_1=15,2 g\) und die Geschwindigkeit \(v_1\). Unter Verwendung der Galilei Transformation in das Ruhesystem des großen Balles, ergibt sich nach dem Stoß für die beiden Bälle folgende Impulsbilanz:
\(m_1 {v_1}^{*}=m_1 {{v_1}^{*}}^{'} +m_2 {{v_2}^{*} }^{'} \)
\(\rightarrow {{v_2}^{*}}^{'} =\frac{m_1}{m_2} \left( {v_1}^{*} - {{v_1}^{*}}^{'} \right) \)
Dies ergibt eingesetzt in den Energieerhaltungssatz
\(\frac{1}{2}m_1 {{v_1}^{*}}^{2}=\frac{1}{2}m_1 {{{v_1}^{*}}^{'}}^2 + \frac{1}{2}m_2 {{{v_2}^{*}}^{'}}^2\)
Folgende Gleichung für die Geschwindigkeit des kleinen Balls:
\({{v_1}^{*}}^{'}=\frac{m_1 -m_2}{m_1 +m_2}{v_1}^{*}\)
Ebenso ergibt sich für die Geschwindigkeit des großen Balls:
\({{v_2}^{*}}^{'}=\frac{2 m_1}{m_1 +m_2}{v_1}^{*}\)
Durch Einsetzen in die Gleichung der Rücktransformation
\({v_1}^{'}={{v_1}^{*}}^{'}+v_2\)
Ergibt sich die Geschwindigkeit des kleinen Balls im Laborsystem zu
\({v_1}^{'}=\frac{m_1 -m_2}{m_1 +m_2}v_1+v_2=\frac{m_1 -m_2}{m_1 +m_2}\left( -2v \right) +v\)
Da das Verhältnis der Massen bekannt ist
\(\frac{m_1}{m_2}=\frac{98,7}{15,2}=6,5\)
Ergibt sich
\({v_1}^{'}=\left( 2\cdot \frac{6,5-1}{6,5+1}+1\right) v=2,5v\)
Dabei bezeichnet v die Geschwindigkeit des großen Balls beim Aufprall auf den Hörsaalboden.
Diese Geschwindigkeit kann berechnet werden über
\(E_{kin}=\frac{1}{2}m_2 v^2 = E_{pot} =mgh_0\)
\(\rightarrow v =\sqrt{2gh_0}\)
Aus der Energieerhaltung für den kleinen Ball kann dann letztlich die Flughöhe des kleinen Balls abgeleitet werden:
\( E_{pot} =m_1gH=E_{kin}=\frac{1}{2}m_1 {v_1}^2 =\frac{1}{2}m_1 \left( 2,5v \right) ^2 \)
\(\rightarrow H=6,5 h_0\)