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Versuchsdurchführung
Eine ca. 1m lange Hantel (mit verschiedenen Massen) kann um eine vertikale Achse rotieren. Auf der Achse ist eine Rolle angebracht, auf welcher ein Faden aufgewickelt ist. Der Faden wird über eine Umlenkrolle mit einem Gewicht belastet und kann ein Drehmoment auf die Hantel ausüben. Mit einer Stopp-Uhr wird die Zeit für verschiedene Anzahlen von Umdrehungen bei verschiedener Position der Hantelmassen oder anderem angehängten Gewicht gemessen.
a) Referenzzeit für eine Umdrehung
Es wird für ein Zuggewicht von 50g die Zeit für eine Umdrehung bestimmt. Die Zugkraft für diese Referenzmasse wird im Folgenden als \(F_0\) bezeichnet. Dabei befinden sich die Hantelgewichte in Ausgangsposition in einer Entfernung von \(l_0\) zur Achse. Die Umlaufzeit beträgt dabei für eine Umdrehung 11,8s.
b) Verdoppelung der Zugkraft
Die Zugkraft wird durch anhängen eines weiteren Massestückes von 50g verdoppelt. Die gemessene Umlaufzeit für zwei Umdrehungen bei einer Zugkraft von \(2F_0\) wird nun gemessen. Diese Umlaufzeit beträgt 11,8s.
c) Halbierter Hantelabstand
Der Abstand der Hantelgewichte zur Achse wird auf \(\frac{l_0}{2}\) reduziert. Als Zuggewicht wird eine Masse von 50g verwendet. Die Zugkraft entspricht also \(F_0\). Nun wird die Umlaufzeit für vier Umdrehungen gemessen. Diese Umlaufzeit beträgt ebenfalls 11,8s.
Erklärung
Es wird die Abhängigkeit der Umlaufzeit von der Zugkraft und dem Trägheitsmoment der Hantel gezeigt. Formell gilt für den Drehwinkel
\(\vec{\phi }=\vec{\omega }\cdot t=\frac{1}{2}\dot{\vec{\omega }}t^2\)
Für die Winkelbeschleunigung gilt dabei
\(\dot{\vec{\omega }}=\frac{\vec{r} \times \vec{F}}{\theta }\)
Somit ergibt sich für die Umlaufzeit
\(t^2 = \frac{2 m l^2 \phi }{F}\)
Anhand dieser Formel ist gut ersichtlich, wie die Umlaufzeit von der Zugkraft und dem Abstand der Hantelgewichte zur Drehachse abhängt.