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Versuchsdurchführung
Auf einem Schrägtisch, dessen Neigung verändert werden kann, können verschiedene Körper rollen gelassen werden, um die Auswirkung des Trägheitsmoments zu demonstrieren.
a) Homogene Vollzylinder
Es werden homogene Vollzylinder, verschiedener Länge, verschiedener Masse und mit verschiedenem Radius gleichzeitig auf der Schiefen Ebene rollen gelassen. Dabei kann beobachtet werden, dass alle Vollzylinder die schiefe Ebene gleich schnell herunterrollen.
Erklärung
Das Drehmoment \(\vec{M}\) auf die Zylinder an der schiefen Ebene ergibt sich aus der Kraft \(\vec{F}\), die am Ortvektor \(\vec{r}\) angreift:
\(|\vec{M}|=|\vec{l}\times \vec{F_G}|=r\cdot m\cdot g\cdot sin(\alpha )=\theta \dot{\omega }\)
Daraus ergibt sich die wirkende Beschleunigung auf die Zylinder zu
\(a=\dot{\omega }\cdot r=\frac{mr^2gsin(\alpha )}{\theta }\)
Das Trägheitsmoment des Vollzylinders, der um seine Längsachse rotiert ist gegeben durch
\(\theta =\frac{1}{2}mr^2\)
Betrachtet man nun die Zylinder auf der schiefen Ebene, so muss zusätzlich der Steiner‘sche Satz berücksichtigt werden, da die Zylinder um den Auflagepunkt auf der Ebene, also um eine Achse parallel zur Längsachse rotieren. Damit ergibt sich
\({\theta }_{SE}=\theta + mr^2=\frac{3}{2}mr^2\)
Die Beschleunigung der verschiedenen Zylinder ist damit gegeben durch
\(a=\frac{2}{3}gsin(\alpha )\)
Somit ist die Beschleunigung und damit auch die Geschwindigkeit der verschiedenen Zylinder völlig unabhängig vom Radius, der Länge und dem Gewicht der Zylinder.
b) Voll- und Hohlzylinder
Es wird ein homogener Vollzylinder und ein Hohlzylinder mit gleichen Außenmaßen gleichzeitig auf der Schiefen Ebene rollen gelassen. Dabei wird gezeigt, dass der homogene Vollzylinder zuerst unten ankommt, also deutlich schneller herabrollt.
Erklärung
Das Trägheitsmoment des Hohlzylinders, der um seine Längsachse rotiert ist gegeben durch
\({\theta }_{hohl}=\frac{1}{2}m\left( {r_1}^2+r^2 \right) \)
Betrachtet man nun den Zylinder auf der schiefen Ebene, so muss wieder zusätzlich der Steiner‘sche Satz berücksichtigt werden. Damit ergibt sich
\({\theta }_{SE}={\theta }_{hohl}+ mr^2\)
Da die Beschleunigung gegeben ist durch
\(a=\frac{mr^2gsin(\alpha )}{\theta }\)
Ist die wirkende Beschleunigung auf den Hohlzylinder kleiner als auf den Vollzylinder. Der Hohlzylinder rollt also langsamer die Ebene herunter.