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Aufbau
Am Ende eines ca. 25cm langen Torsionsbandes aus Bronze (0,15x0,01mm) hängt eine 10cm lange Hantel, an deren Enden zwei kleine Massen (m=15g) befestigt sind. An dem Torsionsband ist ein kleiner Spiegel befestigt, auf welchen ein Laser-Strahl gerichtet wird, sodass die Torsion über die Ablenkung des Laserstrahls an einer Skala an der gegenüberliegenden Hörsaalwand (ca. L=10,4m) abgelesen werden kann.
Weiterhin sind zwei Bleikugeln mit einer Masse von M=1,5kg Drehbar gelagert angebracht, sodass diese einen Abstand von r=4,6cm von Kugelmittelpunkt zu Kugelmittelpunkt der kleinen Kugeln an der Hantel haben.
Versuchsdurchführung
- Die Gravitations
waage wird am Vortag auf die Ausgangsstellung gebracht, sodass sich bis zum Vorführtag eine Ruhelage eingestellt hat. Dies ist notwendig, da das Umschwenken der großen Bleikugeln eine gedämpfte Schwingung des Systems mit großen Periodendauer zur Folge hat (T beträgt ca. 700s). - Vor Versuchsbeginn wird die Drehwaage geerdet, sodass der eventuelle Einfluss der Coulomb-Anziehung zwischen den Kugeln ausgeschaltet wird.
- Wenn sich die Gravitationswaage in Ruhelage befindet, also der Laserpunkt an der Skala stillsteht, werden die Bleikugeln Umgeschwenkt.
Aufgrund der Gravitation zwischen den großen Bleikugeln und den kleinen Kugeln an der Hantel wird eine Winkelbeschleunigung auf das Torsionspendel ausgeübt. - Es wird nun über eine Dauer von 2 Minuten in Intervallen von 15s die zurückgelegte Strecke des Laser-Punktes auf der Skala abgelesen und in einer Tabelle notiert. (Link zur Tabelle)
- Es wird nun die Gravitationskonstante über die Anfangsbeschleunigung der kleinen Kugeln bestimmt. Dabei kann über die unten angegebene Formel die Gravitationskonstante aus den Parametern des Aufbaus und der zurückgelegten Strecke des Laserstrahls auf der Skala bestimmt werden. Dabei bezeichnet l=5cm den Radius der Hantel mit den kleinen Kugeln, r=4,6cm den Abstand der Massenmittelpunkte beider Kugeln, ∆s die zurückgelegte Strecke des Laserstrahls auf der Skala, M=1,5kg die Masse einer Bleikugel, L=10,4m den Abstand vom Spiegel am Torsionsdraht zur Skala an der Hörsaalwand, sowie t die Zeit nach dem Start der Messung.
\(G=\frac{ lr^2 \Delta s}{2MLt^2 }\)
Herleitung
Aus der Geometrie des Strahlverlaufs ergibt sich für die Winkeländerung \(\Delta \phi \) folgender Zusammenhang:
\(tan\left( \Delta \phi \right) = \frac{\Delta r}{l}\approx \Delta \phi\)
Aufgrund der Winkelverdoppelung bei der Reflexion ergibt sich damit:
\(2\Delta \phi =\frac{\Delta s}{L}\)
\(\longrightarrow \frac{\Delta r}{l}=\frac{\Delta s}{2L}\)
Da die Hantel nach Umschwenken der Bleikugeln eine beschleunigte Bewegung ausführt gilt hier:
\(\Delta r = \frac{1}{2}at^2 \)
\(\longrightarrow a=\frac{\Delta s\cdot l}{L \cdot t^2 }\)
Aus dem Gravitationsgesetz folgt damit
\(a=2\cdot G \frac{M}{r^2 }\)
Dabei kürzt sich die Masse des kleinen Gewichtes heraus. Zusätzlich muss ein Faktor 2 hier berücksichtigt werden aufgrund der Anfangsverdrillung des Torsionsfadens in Anfangsposition.
\(G=\frac{a\cdot r^2}{2\cdot M}=\frac{ lr^2 \Delta s}{2MLt^2 }\)